Арифметическая прогрессия: формула n-го члена
Цель урока: изучить ключевую формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии.
Мы научимся применять эту формулу для решения практических задач.
Определение и основные понятия
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, где каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.
Это число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.
Первый член последовательности обозначается как a₁.
Пример: 2, 5, 8, 11, 14... — это арифметическая прогрессия.
Зная первый член и разность, можно найти любой член последовательности.
Разность прогрессии
Разность прогрессии (d) — ключевая характеристика, определяющая, как изменяется последовательность.
Она вычисляется как разность между любым последующим членом и предыдущим: d = a₂ - a₁.
Если d > 0, прогрессия возрастает (каждый следующий член больше).
Если d < 0, прогрессия убывает (каждый следующий член меньше).
Если d = 0, все члены прогрессии равны между собой.
Вывод формулы n-го члена
Выведем формулу, позволяющую найти любой член прогрессии, зная первый член и разность.
Второй член: a₂ = a₁ + d.
Третий член: a₃ = a₂ + d = a₁ + d + d = a₁ + 2d.
Четвертый член: a₄ = a₃ + d = a₁ + 3d.
Замечаем закономерность: номер члена на единицу меньше множителя перед d.
Следовательно, для n-го члена: aₙ = a₁ + d * (n - 1).
Формула n-го члена
Основная формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + d(n - 1).
Где aₙ — искомый n-й член прогрессии.
a₁ — первый член прогрессии.
d — разность прогрессии.
n — порядковый номер члена (натуральное число).
Формула универсальна и работает для любой арифметической прогрессии.
Примеры решения задач
Найти 10-й член прогрессии, если a₁ = 3, d = 4.
Подставляем в формулу: a₁₀ = 3 + (10-1)*4 = 39.
Найти первый член, если a₇ = 22, d = 3.
Используем формулу: 22 = a₁ + (7-1)*3, откуда a₁ = 4.
Определить разность, если a₁ = -5, a₁₅ = 37.
Решаем уравнение: 37 = -5 + (15-1)*d, d = 3.
Найти номер члена, равного 50, если a₁ = 2, d = 6.
Решаем: 50 = 2 + (n-1)*6, n = 9.
Связь с предыдущими членами
Любой член прогрессии можно выразить через предыдущий.
Формула: aₙ = aₙ₋₁ + d, где d — разность прогрессии.
Это позволяет вычислять члены последовательно, шаг за шагом.
Например, если a₅ = 10 и d = 2, то a₆ = 12, a₇ = 14.
Характеристическое свойство прогрессии
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних.
Формула: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2.
Это свойство является определением и проверкой прогрессии.
Например, для членов 7, 10, 13: 10 = (7+13)/2.
Типичные ошибки и разбор
Ошибка: Неверная подстановка номера n в формулу aₙ = a₁ + d(n-1).
Разбор: Помнить, что множится на (n-1), а не на n.
Ошибка: Путаница с порядком действий при нахождении разности d.
Разбор: Аккуратно решать линейное уравнение относительно d.
Ошибка: Использование свойства aₙ = (aₙ₋₁+aₙ₊₁)/2 для крайних членов.
Разбор: Свойство работает только для членов, у которых есть оба соседа.
Итоги и выводы
Формула n-го члена aₙ = a₁ + d(n-1) — ключевая для расчётов.
Она связывает первый член, разность и номер искомого члена.
Характеристическое свойство помогает проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией.
Понимание этих формул позволяет решать основные типы задач на прогрессии.
Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
